在高等代数中，秩一矩阵是指秩小于等于一的矩阵，这类矩阵可用于描述有关矩阵的不等式的退化形式的条件，例如变分问题中的 Legendre-Hadamard 条件。
性质[]
下面是一些秩一矩阵的基本性质：
秩一矩阵
π
∈
R
m
×
n
{\displaystyle \pi \in \R^{m \times n}}
的一个等价刻画是，存在
ξ
∈
R
m
,
η
∈
R
n
{\displaystyle \xi \in \R^m, \eta \in \R^n}
使得
π
=
ξ
η
T
.
{\displaystyle \pi = \xi \eta^\text{T}.}
如果
π
{\displaystyle \pi }
是方阵，那么它的特征值是
n
−
1
{\displaystyle n-1}
个零和
ξ
T
η
{\displaystyle \xi ^{\text{T}}\eta }
。
如果
π
{\displaystyle \pi }
是方阵，那么
π
ξ
=
(
ξ
T
η
)
ξ
,
η
T
π
=
(
ξ
T
η
)
η
.
{\displaystyle \pi \xi =(\xi ^{\text{T}}\eta )\xi ,\eta ^{\text{T}}\pi =(\xi ^{\text{T}}\eta )\eta .}
。
如果
π
{\displaystyle \pi }
是方阵，且满足：存在
ξ
,
η
∈
R
n
{\displaystyle \xi ,\eta \in \mathbb {R} ^{n}}
使得
π
π
T
=
ξ
η
T
{\displaystyle \pi \pi ^{\text{T}}=\xi \eta ^{\text{T}}}
，那么
π
{\displaystyle \pi }
是秩一矩阵。
关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠
两方面证明。
如果
π
{\displaystyle \pi }
是零矩阵，结论自然成立，下面假设其非零，这个时候存在一个非零列记作
η
T
{\displaystyle \eta ^{\text{T}}}
，于是由向量组理论可知
π
{\displaystyle \pi }
的列向量组都是非零列向量的
η
T
{\displaystyle \eta ^{\text{T}}}
数量倍，即
π
=
(
ξ
1
η
T
,
ξ
2
η
T
,
⋯
,
ξ
m
η
T
)
{\displaystyle \pi =(\xi _{1}\eta ^{\text{T}},\xi _{2}\eta ^{\text{T}},\cdots ,\xi _{m}\eta ^{\text{T}})}
。这样我们就找到了
ξ
=
(
ξ
1
,
ξ
2
,
⋯
,
ξ
m
)
.
{\displaystyle \xi =(\xi _{1},\xi _{2},\cdots ,\xi _{m}).}
反过来，同样由向量组理论，
π
=
(
ξ
1
η
T
,
ξ
2
η
T
,
⋯
,
ξ
m
η
T
)
{\displaystyle \pi =(\xi _{1}\eta ^{\text{T}},\xi _{2}\eta ^{\text{T}},\cdots ,\xi _{m}\eta ^{\text{T}})}
的秩也不会超过
1
{\displaystyle 1}
。
如果
π
{\displaystyle \pi }
是方阵，那么它的特征值是
n
−
1
{\displaystyle n-1}
个零和它的迹
tr
π
=
tr
ξ
η
T
=
∑
i
=
1
n
ξ
i
η
i
=
ξ
T
η
{\displaystyle {\text{tr }}\pi ={\text{tr }}\xi \eta ^{\text{T}}=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}\eta _{i}=\xi ^{\text{T}}\eta }
。进一步，
π
n
=
(
tr
π
)
n
−
1
π
,
π
∈
R
n
×
n
,
rank
π
⩽
1.
{\displaystyle \pi ^{n}=({\text{tr }}\pi )^{n-1}\pi ,\quad \pi \in \mathbb {R} ^{n\times n},{\text{rank }}\pi \leqslant 1.}
当
ξ
{\displaystyle \xi}
非零的时候，它是
π
{\displaystyle \pi }
对应于非零特征值
tr
π
{\displaystyle {\text{tr }}\pi }
的特征向量，这是因为
(
π
ξ
)
i
=
∑
j
=
1
n
π
i
j
ξ
j
=
∑
j
=
1
n
ξ
i
η
j
ξ
j
=
(
tr
π
)
ξ
i
.
{\displaystyle (\pi \xi )_{i}=\sum _{j=1}^{n}\pi _{ij}\xi _{j}=\sum _{j=1}^{n}\xi _{i}\eta _{j}\xi _{j}=({\text{tr }}\pi )\xi _{i}.}
第二个关系式考察转置之后的式子即可。
只需考虑
ξ
≠
0
{\displaystyle \xi \neq 0}
的情形，这个时候，用极分解
π
=
U
Σ
V
T
{\displaystyle \pi =U\varSigma V^{\text{T}}}
，那么
π
π
T
=
U
Σ
Σ
T
V
T
{\displaystyle \pi \pi ^{\text{T}}=U\varSigma \varSigma ^{\text{T}}V^{\text{T}}}
，而
Σ
{\displaystyle \varSigma}
和
Σ
Σ
T
{\displaystyle \varSigma \varSigma ^{\text{T}}}
具有相同的秩，这就表明
π
π
T
{\displaystyle \pi \pi ^{\text{T}}}
和
π
{\displaystyle \pi }
具有相同的秩。
秩一扰动[]
有的时候给定一个矩阵
A
{\displaystyle A}
，我们会考察它在一系列秩一矩阵的扰动下的特征值问题。
假设我们有
n
{\displaystyle n}
阶方阵
A
{\displaystyle A}
，它有一个几何重数是
k
{\displaystyle k}
的特征值
λ
{\displaystyle \lambda}
及其对应的
k
{\displaystyle k}
维特征子空间
V
=
span
1
⩽
i
⩽
k
{
v
k
}
{\displaystyle V=\mathop {\text{span}} \limits _{1\leqslant i\leqslant k}\{v_{k}\}}
，那么
λ
{\displaystyle \lambda}
是
A
+
ξ
η
T
{\displaystyle A+\xi \eta ^{\text{T}}}
的几何重数至少是
k
−
1
{\displaystyle k - 1}
的特征值。关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠
不妨假设
ξ
{\displaystyle \xi}
不是零，由于
ξ
{\displaystyle \xi}
是
ξ
η
T
{\displaystyle \xi \eta ^{\text{T}}}
的特征向量，那么
(
A
+
ξ
η
T
−
λ
I
)
(
v
+
ξ
)
=
0
,
∀
v
=
∑
i
=
1
k
α
i
v
i
.
{\displaystyle (A+\xi \eta ^{\text{T}}-\lambda I)(v+\xi )=0,\quad \forall v=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}.}
于是
(
A
−
λ
I
)
ξ
+
ξ
η
T
v
=
(
A
−
λ
I
)
ξ
+
(
η
T
v
)
ξ
=
0.
{\displaystyle (A-\lambda I)\xi +\xi \eta ^{\text{T}}v=(A-\lambda I)\xi +(\eta ^{\text{T}}v)\xi =0.}
如果
η
T
v
=
0
{\displaystyle \eta ^{\text{T}}v=0}
，那么重数在扰动之后不变，如果
η
T
v
≠
0
{\displaystyle \eta ^{\text{T}}v\neq 0}
，那么取
v
{\displaystyle v}
在
V
{\displaystyle V}
中的正交补空间中的元素，我们就可以做到
η
T
v
=
0
{\displaystyle \eta ^{\text{T}}v=0}
，这是因为关于
v
{\displaystyle v}
的方程
η
T
v
=
0
{\displaystyle \eta ^{\text{T}}v=0}
只有一个约束，而其却是
k
{\displaystyle k}
维的方程组，有
k
−
1
{\displaystyle k - 1}
个自由度。
这样，如果有
m
{\displaystyle m}
个扰动，那么对应的矩阵
A
+
∑
i
=
1
m
ξ
i
η
i
T
,
(
ξ
i
,
η
i
∈
R
n
)
{\displaystyle A+\sum _{i=1}^{m}\xi _{i}\eta _{i}^{\text{T}},\quad (\xi _{i},\eta _{i}\in \mathbb {R} ^{n})}
相对于
A
{\displaystyle A}
而言，它对应于某个
A
{\displaystyle A}
的特征值的重数就会至多减少
m
{\displaystyle m}
个。
线性代数（学科代码：1102110，GB/T 13745—2009）
矩阵
矩阵的转置 ▪ 矩阵的逆 ▪ 对角矩阵 ▪ 初等矩阵 ▪ 等价标准型 ▪ 分块矩阵 ▪ 伴随矩阵 ▪ 酉矩阵（正交矩阵） ▪ Hermite 矩阵（实对称矩阵） ▪ 正规矩阵（实正规矩阵） ▪ 幂等矩阵 ▪ 幂零矩阵 ▪ 对合矩阵 ▪ 秩一矩阵 >>另参见数值分析<<
行列式
Vandermonde 行列式 ▪ 行列式的展开 ▪ Laplace 展开 ▪ 三角行列式 ▪ 三对角行列式 ▪ 行列式的计算 ▪ 析因子法
向量组理论
向量组 ▪ 替换定理 ▪ 矩阵的秩 ▪ 矩阵的迹
线性方程组
Cramer 法则 ▪ 基础解系（解的结构）>>另参见数值分析<<
线性空间和内积空间
线性空间的维数和基底 ▪ 线性空间的坐标变换 ▪ 线性空间的同构 ▪ 线性子空间 ▪ 线性空间的直和 ▪ 维数公式 ▪ 线性空间上的线性函数 ▪ 双线性函数 ▪ 对称双线性度量空间 ▪ 正交补空间 ▪ 内积 ▪ Euclid 空间 ▪ 向量到子空间的距离 ▪ 最小二乘法 ▪ Gram-Schmidt 正交化
线性变换
线性映射 ▪ 线性变换 ▪ 线性变换的运算 ▪ 自同构变换 ▪ 线性变换的特征值和特征向量 ▪ 特征子空间 ▪ 特征多项式 ▪ 零化多项式 ▪ 最小多项式 ▪ 关联矩阵的特征根 ▪ 线性空间的直和分解 ▪ 幂等线性变换 ▪ 正交变换 ▪ 正定矩阵 ▪ 半正定矩阵
矩阵标准型
相似标准型 ▪ λ-矩阵 ▪ 数字矩阵的特征矩阵 ▪ Frobenius 标准形 ▪ Jacobson 标准形 ▪ Jordan 标准形
二次型理论
二次型（实二次型） ▪ 二次型的化简 ▪ 正定二次型 ▪ 一对实二次型同时化简
所在位置：数学（110）→ 代数学（11021）→ 线性代数（1102110）